Forumson

İspat Teknİklerİ ::.

Ödevler Katagorisinde ve MaTematik Forumunda Bulunan İspat Teknİklerİ ::. Konusunu Görüntülemektesiniz.->:: İSPAT TEKNİKLERİ :: forumson.com - İspat Teknİklerİ ::. Matematikte teoremler ve önermeler kendilerine özgü bir iç estetiğe sahip ispatlara ...


Reklamı Kapat

Geri git   Forumson > Eğitim - Üniversiteler - Sınavlar > Ödevler > MaTematik

Alt 04-02-2008, 15:15   #1 (permalink)
Moderator

Yasal UyarıArkadaşlar Lütfen Konulara Cevap Yazalım iyi veya Kötü Değerlendirelim Emeğe Saygı!
 
уυѕυƒ - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
Bilgiler
Üyelik tarihi: Feb 2008

Mesajlar: 11,029
Konuları: 6191

Tesekkür: 5
19 Mesajina 20 Tesekkür Aldi Üye No: 847
REP Gücü : 1000
REP Puanı : 22033
уυѕυƒ has a reputation beyond reputeуυѕυƒ has a reputation beyond reputeуυѕυƒ has a reputation beyond reputeуυѕυƒ has a reputation beyond reputeуυѕυƒ has a reputation beyond reputeуυѕυƒ has a reputation beyond reputeуυѕυƒ has a reputation beyond reputeуυѕυƒ has a reputation beyond reputeуυѕυƒ has a reputation beyond reputeуυѕυƒ has a reputation beyond reputeуυѕυƒ has a reputation beyond repute
Seviye: 67 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Aktiflik: 1493 / 1651
Güç: 3676 / 32245
Deneyim: 6%
İletisim
уυѕυƒ - MSN üzeri Mesaj gönder

Standart İspat Teknİklerİ ::.

 

:: İSPAT TEKNİKLERİ ::
forumson.com - İspat Teknİklerİ ::. Matematikte teoremler ve önermeler kendilerine özgü bir iç estetiğe sahip ispatlara dayanır Zaten matematiği ispat ve ispat tekniklerinden ayrı olarak düşünmek mümkün değildir Bu sebeple Matematikçe sitemin bu bölümünü ispat tekniklerine ayırmak istedim Çeşitli ders notlarımdan ve kitaplardan derlediğim bu çalışmayı lise düzeyinde bilgiye sahip bir öğrencinin anlayabileceği seviyeye getirerek, üniversite hayatına yeni atılacak olan gençlerin de bu heyecanı yaşamasını hedefledim
İspat tekniklerini genel olarak dört ana başlık altında toplayabiliriz:
1 Doğrudan İspat
2 Ters Durum İspatı
3 Olmayana Ergi (Çelişki) yöntemi
4 Tümevarım ile ispat
Şimdi bu teknikleri açıklama ve örnekleriyle birlikte inceleyelim
:: 1 - Doğrudan İspat : En bilinen ve kolay ispat tekniklerinden biridir Bu ispat tekniğinde, bize teorem veya önerme içinde verilen şartlar aynen alınıp gösterilmek istenen sonuca ulaşılmaya çalışılır Yani bilinen veya bize teoremde verilen bilgileri kullanarak istenilen sonuca ulaşmaya çalışacağımız tekniktir Bu teknik genel olarak;
P --> Q (P ise Q)
Şeklinde gösterilir P hipotezinin (sol tarafın) doğru olduğu kabul edilerek, sağ tarafın (Q nun) doğruluğu elde edilir
Örnek 1 : Bir tek ve bir çift tamsayının toplamı tektir
İspat 1 : Önce m ve n gibi iki tane tamsayı ele alalım Açıklamada da belirildiği gibi bunlardan birinin tek, diğerinin çift olduğunu kabul ederek, toplamlarının tek olduğunu göstereceğiz Mesela m tek ve n de çift olsun m+n nin tek olduğunu göstereceğiz m tek ve n de çift olduğundan;
m = 2a + 1
n = 2b
olacak şekilde öyle a ve b tamsayıları vardır Yani tüm tek sayıları 2a+1 ve tüm çift sayıları 2b şeklinde yazabiliriz Bizden m+n isteniyordu
m + n = 2a + 1 + 2b = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1
olur a ve b tamsayı olduğundan a + b de bir tamsayıdır ve a + b ye k gibi bir tamsayı dersek;
m + n = 2(a + b) + 1 = 2k + 1 olur
Yani m + n = 2k + 1 şeklinde yazılabilir Öyleyse m + n tek sayı olmalıdır İspat tamamlanır
Örnek 2 : Bir tamsayı 6 ile bölünebilirse, 2 katı 4 ile bölünebilir
İspat 2 : Bir a tamsayısını ele alalım 6 ile bölünebildiğini kabul edelim O zaman k bir tamsayı olmak üzere a=6k şeklinde yazılabilir (Yani 6 ile bölünebiliyorsa k gibi bir tamsayının 6 katı olacaktır) Bunun 2 katı 4 ile bölünebilir mi diye bakacağız 2 katını alırsak;
2a = 26k = 12k olur
Biz 12 yi aynı zamanda 43 olarak da yazabiliriz O zaman;
2a = 12k = (43)k = 4(3k) olur
k bir tamsayı olduğundan 3k da bir tamsayı olacaktır Dolayısıyla buna m gibi bir tamsayı dersek;
2a = 4(3k) = 4m olur
Bu da bize 2a nın, 4 ün bir katı olduğunu yani 4 ile bölünebildiğini gösterir Böylece ispat tamamlanır
Bu tür önermeleri doğrudan ispat tekniğini kullanarak görüldüğü gibi ispatlayabiliriz Bu ispat tekniği kolay olmasına karşın bize her zaman yardımcı olamayabilir Mesela "Karesi çift olan bir sayının kendisi de çifttir" şeklindeki bir önermenin ispatını bu yöntemle vermek oldukça güçtür Bu sebeple başka ispat yöntemleri geliştirilmiştir Sıradaki ispat tekniğini açıkladıktan sonra bu soruya tekrar dönüp, ispatının nasıl yapılabileceğini açıklamaya çalışacağım
:: 2 - Ters Durum İspatı : Bu ispat genel olarak P ise Q yu göstermek yerine Q değil ise P nin de olamayacağını göstermeye dayanır Yani bu ifadeyi sözle açıklamak istersek; bize verilen kabullerden yararlanarak istenileni bulmak yerine, istenilenin olmaması (değilinin olması) durumunda, kabullerimizin de olamayacağını (yani değillerinin doğru olması gerektiğini) göstermeye dayanan bir ispat tekniğidir Bu tekniği örnekler üzerinde daha rahat anlaşılabilir Az önce belirttiğimiz önermeyi bu yöntemle ispatlamaya çalışalım;
Örnek 3 : Karesi çift olan bir sayının kendisi de çifttir
İspat 3 : Burada P dediğimiz olay sayımızın karesinin çift olması, Q dediğimiz olay da bu sayının kendisinin çift olması yani;
P = a sayısının karesi çifttir
Q = a sayısının kendisi çifttir
(hatırlatma : bize verilen kabuller P olarak, istenen ise Q olarak kabul edilir) İlk ispat tekniğimizde P ise Q yu gösteriyorduk ve o teknikle bunu ispatlamanın güç olacağına deyinmiştik Öyleyse şimdiki ispat tekniği ile yani Q değil ise P nin de olamayacağını gösterelim Bunu söz ile ifade etmek istersek, bizim göstereceğimiz "Eğer a sayısı tek ise karesi de tektir" Bu ispat tekniğinde dikkat edilmesi gereken nokta bu Q değil ise P nin olmayacağını doğru olarak ifade etmektedir Özetleyecek olursak; bu ispat tekniğinde "a nın karesi çift ise a da çifttir" ifadesini göstermek yerine "a tek ise karesi de tektir" ifadesini göstereceğiz Şimdi bunu görelim a yı tek kabul ettiğimizden, öyle bir k tamsayısı için a yı;
a = 2k + 1 olarak yazabiliriz
a nın karesinin tek olduğunu göreceğiz Karesini alırsak;
a2 = 4k2 + 4k + 1 = 4(k2 + k) + 1 olur
ve k2 + k bir tamsayı olacağından buna m dersek;
a2 = 4(k2 + k) + 1 = 4m + 1 = 22m + 1
2m ifadesine de t dersek;
a2 = 2t +1 olur
Bu da bize a2 nin tek olduğunu gösterir Öyleyse a sayısı eğer tek ise karesinin de mutlaka tek olması gerektiğini gösterdiğimizden, karesi çift ise sayının kendisinin de çift olması gerektiğini söyleyebiliriz Bu yöntemle önermeyi ilk yönteme göre çok daha kolaylıkla ispatlamış oluyoruz Bu ispat yönteminin kullanılabileceği başka örnekler de vermeye çalışalım;
Örnek 4 : Eğer bir x sayısı pozitif ise ardışığı da pozitiftir
İspat 4 : Bizden soruda x>0 ise x+1>0 olduğunu göstermemizi istiyor Ters durum ispat tekniği ile bunu ispatlamaya çalışırsak; P olayımız x>0 olması ve Q olayımız da x+1>0 olması olduğundan, tekniğe göre Q değil ise P nin de olamayacağını yani; x+1<0 ise x<0 olması gerektiğini göstermeliyiz (sıfıra eşit olma durumunu göz önüne almıyoruz çünkü x+1=0 olduğunda x=-1<0 olduğu ve şartı sağladığı aşikardır) Öyleyse elimizde şimdi x+1<0 kabulü var
x+1<0 ise x<-1 ve -1<0 olduğundan x<-1<0 yani x<0 dır
Böylece x+1<0 ise x in mutlaka x<0 şartını sağlayacağını gösterdiğimizden x>0 olduğunda x+1 mutlaka x+1>0 şartını sağlamalıdır diyebiliriz
Örnek 5 : XY tek sayıdır ancak ve ancak X ve Y nin her ikisi de tektir
İspat 5 : Ancak ve ancak türünden ifade edilen önermelerde, önermeyi iki taraflı ispatlamalıyız Önce sol tarafın doğruluğunu kabul edip sağ tarafı gösterelim Yani, XY tek sayı ise X ve Y nin her ikisinin de tek olması gerektiğini görelim Bunu ters durum ispatı ile gösterelim
(==>)
P = XY nin tek sayı olması
Q = X ve Y nin her ikisinin de tek olması
Burada tekniğe göre öncelikle Q nun değilini alıp, buradan P nin değilini elde etmemiz gerekir Sizin de gördüğünüz gibi bu önermede Q nun değili 2 ye ayrılmaktadır Yani X ve Y nin her ikisinin birden tek olmaması durumu, ya ikisinin de çift olması ya da birinin çift diğerinin tek olması durumunu getirir Önce her ikisinin de çift olması durumunu inceleyelim;
-- X ve Y her ikisi de çift ise öyle A ve B tamsayıları için
X = 2A ve Y = 2B olsun Öyleyse;
XY = 2A2B = 2(A2B)
ve A2B de bir tamsayı olacağından buna C dersek;
XY = 2(A2B) = 2C yani XY = 2C olur
Öyleyse XY çifttir X ve Y nin her ikisini de çift olduğu takdirde XY nin çift olması gerektiğini gösterdiğimizden ispatın bu bölümü tamamlandı
-- X tek ve Y çift olması durumunu ele alalım Öyleyse uygun A ve B tamsayıları için;
X = 2A+1 ve Y = 2B olsun
XY = (2A+1)(2B) = 4AB + 2B = 2(2AB + B) olur
Yine 2AB + B sayısı bir tamsayı olacağından buna C gibi bir tamsayı dersek;
XY = 2(2AB + B) = 2C olur
Yani yine XY nin bir çift sayı olduğunu bulduk
Öyleyse ters durum ispatına göre Q nun değili durumları olan X ve Y nin çift olması veya birinin çift diğerinin tek olası durumlarında P nin değili yani XY nin çift olaması gerektiğini gösterdiğimizden ispatın bu tarafı tamamlanır Şimdi de ispatın diğer yönünü yani, sağ tarafın doğru olduğunu kabul edip, sol tarafı gösterelim Söz ile ifade edersek X ve Y nin her ikisinin de tek olması durumunda XY nin de tek olacağını göreceğiz
(<==) Bu tarafı göstermek için ilk gördüğümüz ispat yöntemi olan doğrudan ispat yöntemi daha uygundur X ve Y nin her ikisinin de tek olduğunu kabul ederek XY nin de tek olması gerektiğini göstereceğiz X ve Y tek ise, uygun A ve B tamsayıları için;
X = 2A + 1 ve Y = 2B + 1 olsun
XY = (2A + 1)(2B + 1) = 4AB + 2A + 2B + 1 = 2(2AB + A + B) + 1
Burada yine 2AB + A + B ifademiz bir tamsayı olacağından buna C dersek;
XY = 2(2AB + A + B) + 1 = 2C + 1 olacaktır
Buradan da görüldüğü gibi XY tek sayı bulunur Öyleyse doğrudan ispat tekniğiyle de ispatın bu yönünü göstermiş bulunuyoruz
Her iki yönden de önermenin doğruluğunu gösterdiğimize göre ispatı tamamlamış bulunuyoruz
Bu örnekten de görüleceği üzere bazı önermeleri ispatlamak için birden fazla ispat tekniğini kullanmamız gerekebiliyor Her ispat tekniğinin kendine göre getirdiği kolaylıklar bulunmaktadır Şimdiye kadar görmüş olduğumuz doğrudan ispat ve ters durum ispatından başka "olmayana ergi" adı verilen bir diğer ispat yöntemini de ifade etmeye çalışalım;
3 - Olmayana Ergi (Çelişkiyle ispat) Tekniği : Bu ispat tekniğinde hipotez aynen alınırken, hükmün bir parçası olumsuz alınır ve bir çelişki ortaya çıkarılır O zaman yanlışın baştaki kabule dayandığı söylenerek ispat yapılır Bunu örnekler ile görelim
Örnek 6 : Kendi kenisiyle toplandığında kendisini veren sayı sıfırdır
İspat 6 : Bir x sayısını ele alalım Önermede bizden x+x=x ise x=0 olduğunu göstermemiz isteniyor Bu teknik ile ispatı göstermeye çalışalım Hükmü (veya bazı durumlarda hükmün bir parçasını) olumsuz olarak alalım Yani kabul edelim ki, x sıfırdan farklı bir sayı olsun Bu durumda x+x ifadesine bakalım Önermede bize x+x in x olduğu verilmişti Yani x+x=x denilmişti Ayrıca biz biliyoruz ki x+x=2x tir Öyleyse bu eşitlikleri birleştirerek;
x = 2x elde ederiz x i sıfırdan farklı kabul ettiğimizden dolayı taraf tarafa x leri sadeleştirirsek (x in sıfırdan farklı olduğunu kabul etmeseydik bu sadeleştirmeyi yapamazdık)
1 = 2 sonucu elde edilir Bu ise bir çelişkidir Bu çelişki x i sıfırdan farklı almamızdan kaynaklanmaktadır Öyleyse x=0 olmalıdır Sonuç olarak x=0 olması gerektiğinden ispat tamamlanmış oldu
Bu önermeden de görüldüğü gibi hükmü olumsuz kabul ederek bize verilen hipotezi kullanıp bir çelişkiye vardık Bu çelişkinin sebebi de hükmü olumsuz kabul etmemizdir Tabi bu önermede x in sıfır olması gerektiği kolaylıkla görülebiliyor ancak tekniği anlayabilmek açısından böyle bir önerme seçtim
Örnek 7 : sayısının rasyonel sayı olmadığını gösterin
İspat 7 : Önermede bizden sayısının irrasyonel bir sayı olduğunu göstermemiz isteniyor Olmayana ergi yöntemiyle bu ispatı yapmaya çalışalım Tekniğe göre hükmü olumsuz kabul edelim, yani sayısı rasyonel bir sayı olsun diyelim ve bir çalişkiye varalım O zaman sayısını, tek ortak böleni 1 olan p ve q gibi iki tamsayının oranı şeklinde yazabiliriz (Not: p ve q nun tek ortak böleninin 1 olması p/q nun bir tamsayı değil rasyonel sayı olmasını ve p/q da pay ve paydanın herhangi bir tamsayı ile sadeleştirilemeyeceğini verir) Yani = p/q diyebiliriz Her iki tarafın da karesini alalım 2 = p2/q2 olur Her iki yanı q2 ile çarparsak;
2q2 = p2 olur Öyleyse buradan p2 nin bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz O zaman 3 nolu örnekte ispatladığımız sonucu kullanarak p nin de bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz p çift bir sayı ise öyle bir n tamsayısı için p=2n olarak alalım
2q2 = p2 bulmuştuk p nin 2n olan değerini burada yerine koyarsak;
2q2 = p2 = (2n)2 = 4n2 olur Yani 2q2 = 4n2 dir 2 leri sadeleştirirsek;
q2 = 2n2 olur Bu ise bize q nun da bir çift sayı olduğunu gösterir Öyleyse yine 3 nolu örnekte ispatladığımız sonucu kullanırsak q nun da bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz q çift bir sayıysa öyle bir m tamsayısı için q=2m olarak yazabiliriz
Bir önceki adımda da p=2n olarak bulmuştuk Öyleyse p=2n ve q=2m olduğundan p ve q nun 2 gibi bir ortak böleni vardır Ancak başta p ve q nun tek ortak böleninin 1 olduğunu söylemiştik Bu durumda bir çelişki karşımıza çıkmıştır Bu çelişkinin nedeni yi rasyonel bir sayı olarak kabul edip tek ortak böleni 1 olan p ve q tamsayılarını kullanarak p/q şeklinde yazmamızdan kaynaklanmaktadır Öyleyse sayısı rasyonel bir sayı olmaz, yani irrasyoneldir
Bu ispat yöntemi ters durum ispatına benzemesine rağmen farklı olarak hipotezin olumsuzu yerine bir çelişkiye varmaya çalışıyoruz Bu ispat tekniklerinden farklı olarak bir de tümevarım ile ispat tekniği vardır Şimdi bu tekniği açıklayıp örnekler verelim
:: 4 - Tümevarım İle İspat Tekniği : En çok bilinen ve kullanılan ispat tekniklerinden biridir Bu teknikte, ispatın yapılacağı kümede, eleman sayısının sayılabilir sonsuzlukta olması durumunda, bir p özelliğinin "1" için var olduğu gösterilir Sonra k için özelliğin var olduğu kabul edilir ve k+1 için özelliğin ispatı yapılır
k yı en kötü durumda 1 olarak düşündüğümüzde ve 1 için ispatın sağlandığını ilk adımda göstermiş olduğumuzdan, önermenin k için doğru olduğunu kabul etmemiz yanlış bir kabul olmayacaktır Sonra k+1 için sağlandığını ispatladığımızdan 2 için de sağlandığı gösterilmiş olur Bu sefer 2 için sağlandığından, k yı 2 gibi düşünürsek k+1 yani 3 için de ispat sağlanacak, 3 için sağlandığından yine aynı mantıkla 4 için de sağlanacak ve bu şekilde genel bir ispat yapılmış olacaktır İlk başlangıç adımının her zaman "1" olması zorunlu değildir, "3 ten büyük tamsayılar için önermenin sağlandığını gösterin" gibi bir durumda başlangıç adımını 3 gibi bir sayı da seçebiliriz Sonra yine aynı şekilde k için doğru olduğunu kabul edip, k+1 için doğruluğunu göstererek ispatı genelleriz Bu tekniği kullanarak ispatı yapılan bir çok önerme bulunmaktadır Şimdi bunlara bir kaç örnek verelim
Örnek 8 : 1 + 3 + 5 + + 2n-1 biçimindeki sayıların toplamının n=1,2,3,4,5, tamsayılarının herbiri için n2 olduğunu gösteriniz
İspat 8 : Tümevarım tekniği ile ispatı yapılabilen toplam serileri üzerine iyi bilinen örneklerden biridir Tekniğe göre ilk adım olarak "1" için önermenin doğruluğunu görelim;
n=1 için : n=1 için bakacak olursak serinin toplamı 1 olacaktır Sonuçta
1 = 12 olduğundan n=1 için önerme doğrudur
n=k için önerme doğru olsun : Yani 1 + 3 + 5 + + 2k-1 = k2 olsun
n=k+1 için : n=k+1 için önermenin doğru olduğunu göstermek için;
1 + 3 + 5 + + 2(k+1)-1 = (k+1)2 olduğunu göstermeliyiz Burada eşitliğin sol tarafındaki en son terimden bir önceki terim de yazılacak olursa;
1 + 3 + 5 + + 2k-1 + 2(k+1)-1 = (k+1)2 olduğunu göstermek istiyoruz Bir önceki adımdaki kabulümüzden dolayı;
1 + 3 + 5 + + 2k-1 = k2 olduğunu biliyoruz Bunu yerine yazarsak
1 + 3 + 5 + + 2k-1 + 2(k+1)-1 = k2 + 2(k+1)-1 olacaktır Bunun da (k+1)2 ye eşit olduğunu göreceğiz
k2 + 2(k+1)-1 = k2 + 2k + 1 = (k+1)2 dir
Böylece önermenin k için doğru olduğunu kabul ederek k+1 için de sağlandığını göstermiş ve genel anlamda ispatlamış oluyoruz
Örnek 9 : Bazı pozitif n tamsayıları için 22n -1 in 3 ün katı olduğunu gösterin
İspat 9 : Bu önerme de tümevarım ile kolaylıkla gösterilebilir
n=1 için : 22n -1 = 221 -1 = 22 -1 = 4 - 1 = 3 olur Yani 3 ün bir katıdır Öyleyse n=1 için önerme sağlanır Şimdi n=k için sağlandığını kabul edip, n=k+1 için inceleyelim;
n=k için önerme doğru olsun : Yani n=k için 22n -1, 3 ün bir katı olmuş olsun Bunu öyle bir m tamsayısı için 22k -1 = 3m (*) olarak gösterelim
n=k+1 için : 22(k+1) -1 ifadesinin 3 ün bir katı olduğunu göstermemiz gerekiyor Bu ifadeyi açacak olursak;
22(k+1) -1 = 22k+2 -1 = 22k22 -1 = 422k -1 (**) elde ederiz Kabulümüzden, yani (*) dan 22k yı çekersek;
22k -1 = 3m dediğimizden 22k = 3m + 1 elde ederiz Bunu (**) ifadesinde yerine yazarsak;
22(k+1) -1 = 422k -1 = 4(3m+1) - 1 = 12m + 4 - 1 = 12m + 3
12m + 3 ifadesini de 3 parantezine alırsak 3(4m+1) elde edilir Burada 4m+1 ifadesi bir tamsayı olacağına göre, buna p gibi bir tamsayı dersek;
22(k+1) -1 = 12m + 3 = 3p olacaktır Öyleyse 22(k+1) -1 ifadesi 3 ün bir katıdır Böylece n=k+1 için de önermenin doğruluğunu ispatlamış olduk O zaman tümevarım ile bu önermenin genel olarak sağlandığını söyleyebiliriz
Tümevarım tekniğinin kullanımı üzerine başta açıklama yaparken her ispatta ilk adım olarak n=1 almak zorunda olmadığımıza, n=2 , 3 veya önermeye göre başlangıç için farklı tamsayılar alabileceğimize deyinmiştik Şimdi bunun üzerine bir önermenin ispatını verelim
Örnek 10 : 2 den büyük ve eşit tamsayılar için n2 > n+1 eşitsizliğinin sağlandığını gösterin
İspat 10 : Burada başlangıç adım olarak 2 seçmemiz gerekiyor, çünkü önermemizin 2 den büyük tamsayılar için sağlandığını ispat etmemiz isteniyor
n=2 için : n2 > n+1 olduğunu görmeliyiz
n2 = 22 = 4 > 3 = 2+1 = n+1 olduğundan n2 > n+1 eşitsizliği n=2 için sağlanır
n=k için önerme doğru olsun : n=k için n2 > n+1 özelliği sağlanıyor olsun, yani k2 > k+1 eşitsizliğinin sağlandığını kabul edelim
n=k+1 için : (k+1)2 > (k+1)+1 sağlandığını göstermeliyiz Eşitsizliğin sol tarafındaki kare ifadeyi açalım;
(k+1)2 = k2 + 2k + 1 elde edilir Kabulümüzden k2 > k+1 olduğundan, k2 yerine ondan daha küçük olan k+1 yazarsak;
(k+1)2 > k2 + 2k + 1 > (k+1) + 2k + 1 = 3k + 2 elde ederiz Burada k değişkenimiz, 2 den büyük veya eşit bir tamsayı olduğundan 3k yerine k yazdığımızda ifademiz küçülecektir Öyleyse;
(k+1)2 > 3k + 2 > k + 2 = (k+1) + 1 elde ederiz Böylece n=k+1 için de aradığımız özellik olan (k+1)2 > (k+1)+1 özelliği sağlanmış olur, ispat tamamlanır
Görüldüğü gibi tümevarım kullanılarak, bize verilen önermenin genel olarak sağlanıp sağlanmadığını ispatlayabiliyoruz Son örnek olarak sizlere yine tümevarım tekniği ile ispatlanan ancak az önce yaptığımız örneklere nazaran biraz daha düşünme gerektiren bir önerme vermek istiyorum

Örnek 11 : Hk = 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + + (1/k) ve k=1,2,3, olmak üzere Hk ifadesini (Harmonik sayılar) ele alalım Burada P(n)=H2n >= 1+(n/2) sağlandığını gösterin
İspat 11 : Burada dikkat edilirse bize verilen Hk harmonik dizisinin elemanları k=1,2,3, olarak verilmiştir O zaman biz önce önermenin H1 için sağlandığını görmeliyiz Önermede P(n)=H2n olarak verildiğinden ilk adım olarak n=0 almalıyız Öyleyse ilk adımla ispata başlayalım;
n=0 için : P(n) = H2n olduğundan P(0) = H20 = H1 = 1 yani P(0)=1 dir
p(n) >= 1+(n/2) olduğunu göstermek istediğimizden;
p(0) = 1 >= 1+(0/2) = 1 olduğundan n=0 için p(n) >= 1+(n/2) eşitsizliği sağlanır
n=k için önerme doğru olsun :
H2k = 1 + (1/2) + (1/3) + + (1/2k) >= 1 + k/2 eşitsizliği sağlanmış olsun
n=k+1 için :
H2(k+1) = 1 + (1/2) + (1/3) + + (1/2(k+1)) >= 1 + (k+1)/2 olduğunu gösterebilirsek ispat tamamlanacaktır
H2(k+1) = 1 + (1/2) + (1/3) ++ (1/2k) + (1/2k + 1) ++ (1/2k+1)
Şeklide H2(k+1) ifadesini açarız (Burada k ların değil, paydadaki ifadelerin 1 er 1 er arttırılarak terimlerin bulunduğuna dikkat ediniz) Bu açılımın terimlerine dikkat edelim Terimlerin (1/2k + 1) ++ (1/2k+1) olan parçasını ele alalım Bu parça içinde toplam 2k adet terim vardır ve bu terimlerin paydaları 1 er 1 er arttırıldığından terimler git gide küçülmektedir Öyleyse bu ele aldığımız parçanın en küçük terimi en sondaki (1/2k+1) olacaktır O zaman biz bu 2k adet terimin tamamını (1/2k+1) olarak yani en küçükleri olarak alırsak, ele aldığımız parçanın değeri küçülür (Yani ele aldığımız terimler parçasındaki tüm terimler yerine bu parçadaki en küçük terimi yazarak, terimler parçamızın değerini küçültüyoruz) 2k adet (1/2k+1) ifadesi yani;
2k(1/2k+1)=(1/2) ele aldığımız terimler parçasından küçük olacaktır Bunu H2(k+1) nın açılımında yerine koyarsak;
H2(k+1) >= 1 + (1/2) + (1/3) + + (1/2k) + (1/2) elde edilir Kabulümüzden kırmızı ile yazılan (1/2) nin solunda kalan terimler toplamının da yani;
1 + (1/2) + (1/3) + + (1/2k) >= 1 + k/2 olduğunu bildiğimize göre H2(k+1) nın açılımında yerine koyarsak;
H2(k+1) >= 1 + k/2 + (1/2) elde edilir Bu ifadeyi de düzenleyerek;
H2(k+1) >= 1 + k/2 + (1/2) = 1 + (k+1)/2 yani;
H2(k+1) >= 1 + (k+1)/2 elde edilir Bu da aramış olduğumuz şarttır Öyleyse n=k+1 için de önermenin sağlandığını gösterdiğimiz için bu önermeyi de ispatlamış oluyoruz
Görüldüğü gibi vermiş olduğumuz bu 4 ispat tekniği kullanılarak çeşitli ispatlar yapılabilmektedir Yaklaşımları ve eldeki bilgiyi kullanış biçimleri farklı da olsa temelde bu 4 tekniğe dayalı olarak matematikte teorem ve önermelerin ispatları gösterilebilir
__________________
уυѕυƒ isimli Üye şimdilik offline konumundadır   Alıntı ile Cevapla

Sponsored Links
Cevapla

Bookmarks

Tags
teknİklerİ, İspat


Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir)
 
Seçenekler
Stil

Yetkileriniz
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Açık
Smileler Açık
[IMG] Kodları Açık
HTML-KodlarıKapalı
Trackbacks are Kapalı
Pingbacks are Açık
Refbacks are Açık

Gitmek istediğiniz klasörü seçiniz

Benzer Konular
Konu Konuyu Başlatan Forum Cevaplar Son Mesaj
İspat Teknİklerİ ::. уυѕυƒ MaTematik 0 04-02-2008 15:15


Bütün Zaman Ayarları WEZ +3 olarak düzenlenmiştir. Şu Anki Saat: 09:14 .


Powered by vBulletin® Version 3.8.3
Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.

Website Statistics
Toplist
Sitemiz bir forum sitesi olduğu için kullanıcılar her türlü görüşlerini önceden onay olmadan anında siteye yazabilmektedir, bu yazılardan dolayı doğabilecek her türlü sorumluluk yazan kullanıcılara aittir, yine de sitemizde yasalara aykırı unsurlar bulursanız doganinternet@hotmail.com email adresine bildirebilirsiniz, şikayetiniz incelendikten sonra en kısa sürede gereken yapılacaktır.
Report Abuse, Harassment, Scamming, Hacking, Warez, Crack, Divx, Mp3 or any Illegal Activity to doganinternet@hotmail.com

DMCA.com