Forumson

Polinomlar Konu Anlatım - Çözümlü Örnekler

Ödevler Katagorisinde ve MaTematik Forumunda Bulunan Polinomlar Konu Anlatım - Çözümlü Örnekler Konusunu Görüntülemektesiniz.->P O L İ N O M forumson.com - Polinomlar Konu Anlatım - Çözümlü Örnekler Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar: a0 ...


Reklamı Kapat

Geri git   Forumson > Eğitim - Üniversiteler - Sınavlar > Ödevler > MaTematik

Alt 09-18-2013, 10:52   #1 (permalink)
ForumSon Webmaster

Yasal UyarıArkadaşlar Lütfen Konulara Cevap Yazalım iyi veya Kötü Değerlendirelim Emeğe Saygı!
 
Korax - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
Bilgiler
Üyelik tarihi: Jan 2008

Yaş: 31
Mesajlar: 20,148
Konuları: 18468

Tesekkür: 7
272 Mesajina 267 Tesekkür Aldi Üye No: 1
REP Gücü : 1000
REP Puanı : 11717
Korax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond repute
Seviye: 80 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Aktiflik: 2790 / 2790
Güç: 6716 / 38647
Deneyim: 74%
İletisim
Korax - MSN üzeri Mesaj gönder

icon37: Polinomlar Konu Anlatım - Çözümlü Örnekler

 

P O L İ N O M
forumson.com - Polinomlar Konu Anlatım - Çözümlü Örnekler

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

a0 a1 a2 ....an-1 an  R ve n  N olmak üzere P(x) = an xn + an-1 xn-1 + .... + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

1. an xn an-1 xn-1 .... ak xk ..... ayx a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
2. an an-1 .... ak .... ay a0 reel sayılarına polinomun terimlerinin katsayıları denir.
3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.
4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
5. P(x) polinomu terimlerin azalan derecelerine göre
P(x) = anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir.

Örnek:
P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n  N kaç olmalıdır?

Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.
3’ün bölenleri ise n = 1 n = 3 n = -1 n = -3 Ayrıca n-2  0 den n  2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre P(x) polinomu
P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2x4 + x + 4 dür.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x y) = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
der P(x y) = der P(x) + der P(y) dir.

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.
Der P(x y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek
P(x y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:
2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x y) polinomunun derecesidir. O halde der P(x y) = 8 dir.

Örnek
P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise
P(2)= ? P(0) = ? P(1) = ?

Çözüm:
P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = - 2 bulunur.
P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.


SIFIR POLİNOMU

P(X) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 polinomunda
an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x2 + 0x + 0 polinomuna sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomu 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m n ve t reel sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0 n – 5 = 0 t = 0 ;
m = -3 n = 5 t = 0 olmalıdır.


SABİT POLİNOM

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda an = an-1 = ... = a1 = 0 ve a0  0 ise; P(x) polinomuna sabit polinom denir.

0xn + 0xn-1 + ... + 0x + a0 sabit polinomu a0 ile gösterilir.
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre sabit polinomun derecesi 0 dır.

Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için a ve b sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre a = 4 ve b = 0 dır.

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma eşit polinomlar denir.

n. dereceden
A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;
A(x) = B(x)  an = bn an-1 = bn-1 ... a2 = b2 a1 a0 = b0 dır.

Örnek
A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d
B(x) = (b - 1)x3 – 3x2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a b c ve d yi bulalım.

Çözüm
A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d
B(x) = (b – 1)x3 - 3x2 – (2c – 3)x + olduğundan;
A(x) = B(x)  5 = b – 1 a + 1 = -3 0 = -(2c – 3) d =
b = 6 a = -4 c = d = dir.


POLİNOM FONKSİYONLARI

P : R  R
x  P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

P : R  R
x  P(x) = 5x3 + 2x2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.

Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.

II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

Örnek
P(x) polinomu için
P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde
H = x + 2  h –2 = x’i yerine yazalım.
P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.


POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
P(1) = an + an-1 + ... + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

Örnek
P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

Çözüm
P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1
= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Polinomları verilsin bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

Örnek
P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1 Q(x) = 3x2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

Çözüm
P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + 4
= x3 + 5x2 + (3-3) x + 5 dir.

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

1. Polinomlar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Sıfır polinomu polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
5. Her polinomun toplama işlemine göre tersi vardır.


İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
P(x) – Q(x) polinomuna P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

Örnek
A(x) = 5x4 + x3 – 3x2 + x + 2 ve

B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları için A(x) – B(x) farkını bulalım.

Çözüm
B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise -B(x) = 5x4 - x3 – 2x2 - dir.
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5x4 + x3 – 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 –2x2 - )
= (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 - )
= 10x4 – x3 – 5x2 + x - olur.
Bu örnekte görüldüğü gibi iki polinomun farkı da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomları için A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
Yani (5x3) . (-2x4) = 5 . (-2) x3+4 = -10x7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek
A(x) = 3x4 + 1 B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.
a) A(x) . B(x)
b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.

Çözüm
a) A(x) . B(x) = (3x4 + 1) . (x2 + x)
= 3x4 . x2 + 3x4 . x + x2 + x
= 3x6 + 3x5 + x2 + x

b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)
= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.

Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.

1. Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur.
2. Değişme özelliği vardır.
3. Birleşme özelliği vardır.
4. Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.
5. Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.
Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir.
6. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)


Polinomlar Halkası

Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R[x] polinomlar kümesi;
1. (R[x]+) sistemi değişmeli gruptur.
2. R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
3. R[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
O halde (R[x] + . ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.


Polinomlarda Bölme İşlemi

A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

A(x) B(x)
 T(x)

.
-___________
R(x)

Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.
Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

1. Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.
2. Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.
DerB(x) < derA(x)

3. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.
Der R(x) < der B(x)

4. R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.
5. der A(x) = der B(x) + der T(x)

der = der A(x) – der B(x) dir.


Örnek
P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu
Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim.

x4 – 2x2 + x + 5 x2 + 3x – 1
_____________ = x2
x2- 3x + 8

± x4 ± 3x3 ± x2 = -3x
-__________________
-3x3 – x2 + x + 5 = 8
±3x3 ± 9x2 ±3x
-_________________
8x2 – 2x + 5
± 8x2 ± 24x ±8
-_________________
- 26x + 13

Bölüm : x2 – 3x + 8
Kalan : -26x + 13


Horner Metodu

Bölen birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.

Örnek
Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim.

Çözüm
1. Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
2. Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3’ün katsayısı 0 olur.
3. p katsayısı aşağıya aynen yazılır.
4. a p ile çarpılır q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

Bu işleme kalan bulunana kadar devam edilir.
px3 + qx2 + rx + s x – a = 0 ise x = a

Örnek
P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

Çözüm
P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0  x = 2 ‘yi yerine yazalım.

Bölümün Katsayıları Kalan



-1 0 3 4
2 1 2 2 4 14
1 1 2 7 18

Bölümün Katsayıları Kalan

Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7
Kalan R(x) = 18 bulunur.




Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden olduğundan kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k  P(a) = k bulunur.

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0  x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.

Örnek
P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.

Çözüm
X – 2 = 0  x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse P(2) = 22 – 3 . 2 + 21 = 19 olur.

Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k yazılır.
Ax + b = 0  x = olur. Polinomda x yerine yazılırsa P( ) = k bulunur. O halde bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine yazılır.

Örnek
P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
P ( ) = - 4. + 1 = - 2 + 1 = olur.

Bir P(x) Polinomunun x2 + a x3 + a x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine –a yazılır.
P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine –a yazılır.
P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine –a yazılır.

Örnek
P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0  x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız.
P(x) = x2 . x2 – x2 . x + x2 + 7x – 1 olur.
Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.

Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen P(x) polinomu önce (x – a) ile bölünür sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür.

Örnek
Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
(x + 3) (x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa
P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.
P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.
P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b  P(-3) = -3a + b
P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + ‘a +b  P(2) = 2a +b olur.

-3a + b = -5
2a + b = 4
denklem sistemi çözülürse a = ve b = olur. Buradan K(x) = x + bulunur.

Örnek
Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm
Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan en fazla 2. dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;
P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda
x = 1 için P(19 = (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve
x2 = -2 yazılırsa -2a + bx + c = - 2x + 6 olur.
bx + c – 2a = -2x + 6  b = -2 ve c-2a = 6 olur. Ayrıca b = -2 ise a + b + c = 7 den
a – 2 + c = 7  a + c = 9 dur.
c - 2a = 6
a + c = 9
Sistemi çözülürse a = 1 c = 8 bulunur. Oyleyse K(x) = x2 – 2x + 8 olur.
__________________
Atılan Romlardan Forumson Ekibi Sorumlu Değildir Lütfen Cihaz Bilgilerini Okuyup Rom Atınız Cihazınıza
Korax isimli Üye şimdilik offline konumundadır   Alıntı ile Cevapla

Sponsored Links
Cevapla

Bookmarks

Tags
anlatım, Çözümlü, konu, polinomlar, örnekler


Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir)
 
Seçenekler
Stil

Yetkileriniz
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Açık
Smileler Açık
[IMG] Kodları Açık
HTML-KodlarıKapalı
Trackbacks are Kapalı
Pingbacks are Açık
Refbacks are Açık

Gitmek istediğiniz klasörü seçiniz

Benzer Konular
Konu Konuyu Başlatan Forum Cevaplar Son Mesaj
fransizca alan sinavi İngilizce, Fransızca ve Almanca Öğretmenliği Alan Sınavı Konu Yaso Yabancı Dil 0 07-14-2013 10:12
10. Sınıf Zambak Dil ve Anlatım Ders Kitabı Cevapları Korax Siz Sorun Biz Cevaplayalim(Maximum 5-10dk) 65 03-17-2013 17:45


Bütün Zaman Ayarları WEZ +3 olarak düzenlenmiştir. Şu Anki Saat: 07:01 .


Powered by vBulletin® Version 3.8.3
Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.

Website Statistics
Toplist
Sitemiz bir forum sitesi olduğu için kullanıcılar her türlü görüşlerini önceden onay olmadan anında siteye yazabilmektedir, bu yazılardan dolayı doğabilecek her türlü sorumluluk yazan kullanıcılara aittir, yine de sitemizde yasalara aykırı unsurlar bulursanız doganinternet@hotmail.com email adresine bildirebilirsiniz, şikayetiniz incelendikten sonra en kısa sürede gereken yapılacaktır.
Report Abuse, Harassment, Scamming, Hacking, Warez, Crack, Divx, Mp3 or any Illegal Activity to doganinternet@hotmail.com

DMCA.com